Равенката Ax²+ Bxy + Cy²+ Dx + Ey + F = 0 е општа равенка од втор степен со две непознати.
Кривата што е определена со некоја равенка од втор степен со две променливи се вика крива од втор ред.
Криви од втор ред, на пр., се: кружница, елипса, хипербола и парабола.
1. КРУЖНИЦА
Равенката:
е равенка на кружница со центар во точката C (p,q) и радиус r (црт.7).
Равенката x²+ y² = r² се вика централна равенка на кружница.
Црт. 7
1.1. Заемен однос на права и кружница
Нека е дадена равенката на кружницата
(x-p)² + (y – q)²= r²
и равенката на правата
y=kx+b.
Ако системот равенки
има две решенија, тогаш правата ја сече кружницата; ако има едно решение-таа ја допира кружннцата и ако нема решение-правата и кружницата немаат заеднички точки.
Равенството
претставува услов правата y=kx+b даја допира кружницата x²+y²=r²
Равенството
претставува услов правата y=kx+b да ја допира кружницата
(x – p)² + (y – q)² = r²
1.2. Равенка на тангента и нормала на кружница
Равенката на тангента на кружницата x²+ y² = r² во точката М(x₁,y₁) е
x₁x + y₁y = r²
Ако равенката на кружницата е дадена во видот
(x-p)² + (y – q)² = r²
тогаш равенката на танrентата во точката М(x₁,y₁) е
Равенката на нормалата на кружницата x²+ y² = r² во точката М(x₁,y₁) е
а равенката на нормалата на кружницата
(x-p)² + (y-q)²= r²
во точката М(x₁,y₁) е
2. ЕЛИПСА
Елипсата е множество точки во рамнината кај која збирот на растојанијата на било која нејзина точка до две дадени точки е константен (црт. 8).
Равенката
се вика централна или канонична равенка на елипса.
Црт.8
Отсечката A₁A₂ е голема оска на елипсата и
Отсечката B₁B₂ е мала оска на елипсата и
Точките F₁ и F₂ се фокуси на елипсата и
F̄₁̄F̄₂ = 2c
Полуоските а и b и полуфокусното растојание с ги исполнуваат следниве релации:
a > c и a²-c²=b²
2.1. Ексцентрицитет на елипса
Ексцентрицитет на елипсата е
За полуоските и ексцентрицитетот важи следнава релација
2.2. Директриси на елипса
Директрисите на елипса се две нормални прави на правата на која лежи нејзината голема оска, симетрично поставени во однос на центарот на елипсата и на растојание a/ε од него. Равенките на директрисите се:
2.3. Заемен однос на права и елипса
Права и елипса ги имаат истите заемни односи како
права и кружница.
Нека е дадена равенката на елипсата b²x² + a²y² = a²b² и равенката на правата у = kx +n. Релацијата
a²k² + b² – n²= 0 односно a²k² + b²=n²
е услов правата у = kx +n да ја допира елипсата
b²x² + a²y²= a²b²
2.4. Равенка на тангента и нормала на елипса
Равенката на тангентата на елипсата b²x² + a²y² = a²b² во точката М(x₁y₁) гласи:
b²x₁x + a²y₁y = a²b²
Равенката на нормалата на елипсата b²x² + a²y² = a²b² во точката М(x₁,y₁) гласи:
3. ХИПЕРБОЛА
Хиперболата е множество точки од рамнина такво што разликата на растојанијата на КОЈа било нејзина точка до две дадени точки е константно(црт. 9).
Равенката
се вика централна или канонична равенка на хипербола.
Црт.9
Отсечката A₁A₂ е реална оска на хиперболата и A₁A₂= 2a (а – полуоска). Отсечката B₁B₂ е имагинарна оска на елипсата и B₁B₂ = 2b (b– полуоска). Точките F₁ и F₂ се фокуси на елипсата и при тоа F₁F₂ = 2c (с – полуфокусно растојание).
За полуоските а и b и полуфокусното растојнние с важат следниве релации:
a < c и c²- a² = b²
3.1. Ексцентрицитет на хипербола
Количникот с:а од полуфокусното растојание и реалната полуоска на хиперболата се вика ексцентрицитет на хипербола и се означува со ε.
Бидејќи с > а, следува ε > 1. Кај хиперболата важи:
од каде се добива
3.2. Директриси на хипербола
Хиперболата има две директриси и нивните равенки се:
3.3. Асимптоти на хипербола
Правите, одредени со равенките
се асимптоти на хиперболата
Црт.9
3.4. Заемна положба на права и хипербола
Права и хипербола ги имаат истите заемни односи како права и кружница.
Релацијата
односно
a²k² – b² = n²
е услов правата у = kx +n да ја допира хиперболата b²x² – a²y² = a²b²
3.5. Равенка на тангента и нормала на хипербола
Равенката на тангентата на хиперболата b²x² – a²y² = a²b²
во која било нејзина точка М(x₁,y₁) е:
а равенката на нормалата:
4. ПАРАБОЛА
Параболата е множество од точки во рамнината кои се на еднакво растојание од една постојана точка и една постојана права.Постојаната точка се вика фокус (ознака: F), а постојаната права се вика директриса на параболата (ознака: D).
Нормалното растојание од фокусот до директрисата обично се означува со р и се вика параметар на параболата (црт. 10).
Равенката y² = 2 p x се вика канонична равенка на парабола.
Точката О(0,0) е теме на параболата. Фокусот има координати p/2 и О, т.е.
4.1. Заемен однос на права и парабола
Релацијата р= 2kn е услов правата y=kx+n да ја допира параболата y²= 2рх .
2.4.2. Равенка на тангента и нормала на парабола
Равенката на танrентата на параболата y²= 2рх во нејзината точка М(x₁,y₁) е
а равенката на нормалата:
