1. ПРИМИТИВНА ФУНКЦИЈА
Нека у = f(x) е функција определена во интервалот (a,b). Примитивна функција на функцијата у = f(x) во интервалот (a,b) се нарекува секоја функција у = F(x), диференцијабилна во дадениот интервал и таква што за секој х∈(a,b) точно е F'(x) = f(x).
Примитивните функции на функцијата f(x) се дадени со изразот F(x) + С, каде што С е произволна константа.
Множеството од сите примитивни функции на функцијата у = f(x), определени на интервалот (a,b), се вика неопределен интеграл од функцијата y = f(х) и се означува со
Ако F(x) е која било примитивна функција на функцијата f(x) во (a,b), тогаш се пишува:
Операцијата за наоѓање на неопределениот интеграл (примитивната функција) на дадена функција, се вика интегрирање.
2. Таблица со некои основни интеграли
3. Основни својства на неопределениот интеграл
Пример.
4. Интегрирање по метод на замена
Во основа на овој метод е формулата за извод од сложена функциј Притоа, во ∫f(x)dx се врши замена на променливата х со диференцијабилна функција х = ψ(t) и при диференцнрањето се добива dx = ψ'(t)dt.
Со замена во интеrралот се добива:
Пример. Да се пресмета интеrралот
Со смената
интеrралот се сведува на:
5. Интегрирање по делови
Формулата:
се нарекува формула за интегрирање по делови (парцијална интеграција).
Пример. Да го пресметаме интегралот
6. Определен интеграл
Нарастувањето на која било примитивна функција на функцијата f(x) при преминот на аргументот од х = а до х = b се вика определен интегрaл и се означува со
Значи, ако функцијатау y = f(х) е непрекината на интервалот [a , b] и постои неопределениот интеграл
тогаш определениот интеграл се пресметува според формулата на Њутн-Лајбниц:
Броевите а и b се граници на инrегралот: а-долна, а b-горна граница.
Пример.
6.1. Својства на определениот интеграл
6.2. Определен интеграл како плоштина
Плоштината Р на криволинискиот трапез abBA (црт.1), ограничен со кривата у=f(x), апсцисната оска и правите х=а и х=b, е еднаков на определениот интеrрал од таа функција,во rраници од а до b, т.е.
Црт.1
Пример. Да се пресмета плоштината, оrраничена со кривата у= 1/x, апсцисната оска и правите х =1 и х =3 (цртеж2).
Решение.
