1. ПОИМ ЗА ИЗВОД
Граничната вредност:
ако постои, се вика извод на функцијата у = f(x) во точката х₀ и се означува со f'(x₀) или y'(x₀), т.е
Изразот f(x) – f(x₀) се нарекува нарастување на функцијата и се означува со ∆y, т.е ∆y=f(x)-f(x₀), a x-x₀ се нарекува нарастување на аргументот и се означува со ∆x, т.е ∆x=x-x₀. Ako x -> x₀, тогаш и ∆x -> 0, па:
За функцијата y=f(x) велиме дека е диференцијабилна во точката х₀, ако постои изводот f'(x)
Ако функцијата у =f(x) е диференцијабилна во точката х₀,тогаш таа е и непрекината во таа точка.
Пример. Изводот на функцијата у = 2х+3 го одредуваме по извршувањето на следнава постапка:
2. Изводи од некои посебни функции
3. Основни правила за диференцирање
1°. Ако y=cf(x) (c e konst.),
тогаш:
(cf(x))´ = cf´(x)
2°. Ако у = f(x)+ g(x),
тогаш:
(f (x) + g(x))´ = f´(x) + g´(x)
3°. Ако y=f(x)•g(x),
тогаш :
(f(x) ∙ g(x))´= f´(x)∙g(x)+ f(x)∙g´(x)
4°. Ако y=f(x)/g(x) тогаш
4. Извод од сложена функција
Нека g ∘ f D -> R е сложена функција. Изводот на оваа функција се определува со релацијата:
(g∘ f)´(x)= g´(f(x))∙f´(x)
При практичиите пресметувања функцијата дадена во обликот y= g(f(x)) се пишува во обликот y (u)= g (u),u=f(x), па за изводот имаме:
y´(x)=g´(u)∙u´(x)=g´(f(x))∙f´(x)
Пример.
Изводот на функцијата го одредуваме по следнава постапка:
Замена:
Заменуваме во задачата:
5. Изводи од повисок ред
Извод од втор ред или втор извод на функцијата у = f(x) се вика изводот од нејзиниот прв извод и се означува со у” или f”(x). Ако постои извод и за функцијата f”(x),тогаш се зборува за трет извод на функцијата у = f(x) и се означува со f”'(x), итн. Воопшто, n-ти извод на функцијата у = f(x) е изводот од нејзиниот ( n-1 )-ви извод, т.е.
Пример. Вториот извод на функцијата у = e² ͯ е:
y’=2e² ͯ
y”=2∙2e² ͯ = 4e² ͯ
6. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА
Диференцијал на функцијата у =f(x) е производ од изводот на функцијата и диференцијалот на аргументот, т.е.
Прuмер. Да го одредиме диференцијалот на функцијата
у=2х³-8х+5.
dy = (2х³-8x+5)´dx= = (бх² -8)dx.
7. НЕКОИ ПРИМЕНИ НА ИЗВОДИТЕ ВО ГЕОМЕТРИЈАТА
Равенката на танrента на кривата у = f(x) во точката А (x₀,y₀) е:
а равенката на нормалата е:
Должините на тангента (t),нормала (n),субтангента (ѕ₁) и субнормала (s₂) (црт. 1) се определуваат со формулите:
Црт. 1
8. ПРИМЕНА НА ДИФЕРЕНЦИЈАЛНОТО СМЕТАЊЕ ВО ИСПИТУВАЊЕТО НА ФУНКЦИИТЕ
1°. Нека функцијата у = f(x) е диференцијабилна во интервалот (а,b). Ако f'(x)>0 во тој интервал, тогаш функцијата строго монотоно расте, ако, пак, f'(x)<0, тогаш функцијата строго монотоно опаѓа.
2°. Ако во точката xₒ, f´(xₒ) = 0 и f´´(x₀)>0 функцијата во х₀ има минимум, а ако, пак, f´´(x₀)<0, тогаш во таа точка функциjата има максимум. Минимумот и максимумот cе викаат екстермни вредности на функцијата.
Во практиката се користиме со следниве правила:
1) Најпрво се определува првиот извод.
2) Потоа, првиот извод го прирамнуваме на нула и ја решаваме равенката f'(x) = 0.
3) За реалните корени на равенката f'(x)=0 го испитуваме знакот на f”(x),за секој корен одделно.
3°. За една крива ќе велиме дека е конвексна (конкавна) во еден интервап (a,b) кога коефициентот на правецот на тангентата во (a,b) строго монотоно опаѓа(расте), (црт. 2).
а) конвекс. б) конкав.
Нека функцијата y=f(x) е двапати диференцијабилна функција на интервалот (a,b). Ако f”(x)=0 за секој тогаш графикот во тој интервал е конкавен.
Точката х = х₀ е превојна точка на функцијата у=f(x) ако кривата во таа точка ја менува насоката на испакнатост(закривеност). Почетен услов кривата да има превој во точката х=хₒ е f”(xₒ)=0,а доволен услов е f´´´(x₀)≠0.
4. Постројување график на функција.
Постројувањето график на функција ќе го прикажеме на следниов пример.
Пример. Да се испита текот и да се нацрта графикот на функцијата
у = Зх² – х³
Решенuе.
1. Дефинициона област на функцијата: функцијата е дефинирана за секој х∈R, т.е.Df=R.
2. Интервали на монотоност на функцијата: Изводот f´(x)= 6x-3x² го прирамнуваме на нула, односно 6x-3x²=0 . Решенијата на оваа равенка се х₁=0 и х₂=2.
Интервалот (-∞,+∞) го делиме на следниве подинтервали: (-∞,0), (0,2), (2,+∞).
Го испитуваме знакот на првиот извод f'(x)=3x(2-x) за секој од овие интервали:
– во (-∞,0), f'(x)<0, функцијата опаѓа;
– во (0,2), f'(x)>0, функцијата расте;
– во (2,+∞), f'(x)<0, функцијата опаѓа.
3. Екстремни вредности на функцијата: од f'(х)=6x-3x² заклучуваме дека функцијата може да има екстреми за х=0 и х=2. Вториот извод f”(х)=6-6х, па f”(0)=6>0 и следува дека функцијата има минимум за х=0,т.е. y-min=З•0-0=0;f´´(2)=-6<0, следува дека за х = 2 функцијата има максимум, т.е.
y(max)= 3∙2²-2³ = 12-8 = 4
4°. Превојни точки: од f”(x)=6-6х=0 следува дека за x=1 функцијата има превој;тоа е точката (1,2).
5°. Функцијата ниту е парна, ниту непарна, затоа што
f(-x) = 3x²+x³ ≠ ±f(x)
6°. Асимптоти: функцијата е полином а и нема асимптоти.
7°. Нули на функцијата: нулите на функцијата се х₁ =0 и х₂=3.
Графикот на функцијата у=3x²-x³ е прикажан на цртежот 3.
Црт. 3
Видео лекција: Вовед во изводите