Изводи – MATEMATИKA

1. ПОИМ ЗА ИЗВОД

Граничната вредност:

ако постои, се вика извод на функцијата у = f(x) во точката х₀ и се означува со f'(x₀) или y'(x₀), т.е

Изразот f(x) – f(x₀) се нарекува нарастување на функцијата и се означува со ∆y, т.е ∆y = f(x) – f(x₀), a x-x₀ се нарекува нарастување на аргументот и се означува со ∆x, т.е ∆x = x – x₀. Ako x -> x₀, тогаш и ∆x -> 0, па:

За функцијата y = f(x) велиме дека е диференцијабилна во точката х₀, ако постои изводот f'(x)

Ако функцијата у = f(x) е диференцијабилна во точката х₀,тогаш таа е и непрекината во таа точка.

Пример. Изводот на функцијата у = 2х + 3 го одредуваме по извршувањето на следнава постапка:

2. Изводи од некои посебни функции

3. Основни правила за диференцирање

1°. Ако y = cf(x) (c e konst.),
тогаш:
(cf(x))´ = cf´(x)

2°. Ако у = f(x) + g(x),
тогаш:

(f (x) + g(x))´ = f´(x) + g´(x)

3°. Ако y = f(x) • g(x),
тогаш :
(f(x) ∙ g(x))´= f´(x) ∙ g(x) + f(x) ∙ g´(x)

4°. Ако y = f(x) / g(x) тогаш

4. Извод од сложена функција

Нека g ∘ f D -> R е сложена функција. Изводот на оваа функција се определува со релацијата:

(g∘ f)´(x) = g´(f(x)) ∙ f´(x)

При практичиите пресметувања функцијата дадена во обликот y = g(f(x)) се пишува во обликот y (u) = g (u), u = f(x), па за изводот имаме:

y´(x) = g´(u) ∙ u´(x) = g´(f(x)) ∙ f´(x)

Пример.

Изводот на функцијата го одредуваме по следнава постапка:

Замена:

Заменуваме во задачата:

5. Изводи од повисок ред

Извод од втор ред или втор извод на функцијата у = f(x) се вика изводот од нејзиниот прв извод и се означува со у” или f”(x). Ако постои извод и за функцијата f”(x),тогаш се зборува за трет извод на функцијата у = f(x) и се означува со f”'(x), итн. Воопшто, n-ти извод на функцијата у = f(x) е изводот од нејзиниот ( n-1 )-ви извод, т.е.

Пример. Вториот извод на функцијата у = e² ͯ е:

y’ = 2e² ͯ
y” = 2∙2e² ͯ = 4e² ͯ

6. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА

Диференцијал на функцијата у = f(x) е производ од изводот на функцијата и диференцијалот на аргументот, т.е.

Прuмер. Да го одредиме диференцијалот на функцијата

у = 2х³ – 8х + 5
dy = (2х³ – 8x + 5)´dx = (6х² – 8)dx

7. НЕКОИ ПРИМЕНИ НА ИЗВОДИТЕ ВО ГЕОМЕТРИЈАТА

Равенката на танrента на кривата у = f(x) во точката А (x₀,y₀) е:

а равенката на нормалата е:

Должините на тангента (t), нормала (n), субтангента (ѕ₁) и субнормала (s₂) (црт. 1) се определуваат со формулите:

8. ПРИМЕНА НА ДИФЕРЕНЦИЈАЛНОТО СМЕТАЊЕ ВО ИСПИТУВАЊЕТО НА ФУНКЦИИТЕ

1°. Нека функцијата у = f(x) е диференцијабилна во интервалот (а , b). Ако f'(x)>0 во тој интервал, тогаш функцијата строго монотоно расте, ако, пак, f'(x)<0, тогаш функцијата строго монотоно опаѓа.

2°. Ако во точката xₒ, f´(xₒ) = 0 и f´´(x₀)>0 функцијата во х₀ има минимум, а ако, пак, f´´(x₀)<0, тогаш во таа точка функциjата има максимум.
Минимумот и максимумот cе викаат екстермни вредности на функцијата.

Во практиката се користиме со следниве правила:

1) Најпрво се определува првиот извод.
2) Потоа, првиот извод го прирамнуваме на нула и ја решаваме равенката f'(x) = 0.
3) За реалните корени на равенката f'(x)=0 го испитуваме знакот на f”(x),за секој корен одделно.
3° За една крива ќе велиме дека е конвексна (конкавна) во еден интервап (a,b) кога коефициентот на правецот на тангентата во (a,b) строго монотоно опаѓа(расте), (црт. 2).

а) конвекс. б) конкав.

Нека функцијата y=f(x) е двапати диференцијабилна функција на интервалот (a,b). Ако f”(x)=0 за секој тогаш графикот во тој интервал е конкавен.

Точката х = х₀ е превојна точка на функцијата у=f(x) ако кривата во таа точка ја менува насоката на испакнатост(закривеност). Почетен услов кривата да има превој во точката х=хₒ е f”(xₒ)=0,а доволен услов е f´´´(x₀)≠0.

4.) Поставување график на функција.

Пример. Да се испита текот и да се нацрта графикот на функцијата

у = Зх² – х³

Решенuе.

1. Дефинициона област на функцијата: функцијата е дефинирана за секој х ∈ R, т.е.Df=R.

2. Интервали на монотоност на функцијата: Изводот f´(x)= 6x – 3x² го прирамнуваме на нула, односно 6x – 3x² = 0 . Решенијата на оваа равенка се х₁ = 0 и х₂ = 2.

Интервалот (-∞,+∞) го делиме на следниве подинтервали: (-∞,0), (0,2), (2,+∞).

Го испитуваме знакот на првиот извод f'(x)=3x(2-x) за секој од овие интервали:

– во (-∞,0), f'(x)<0, функцијата опаѓа;

– во (0,2), f'(x)>0, функцијата расте;

– во (2,+∞), f'(x)<0, функцијата опаѓа.

3. Екстремни вредности на функцијата: од f'(х) = 6x – 3x² заклучуваме дека функцијата може да има екстреми за х = 0 и х = 2. Вториот извод f”(х) = 6 – 6х, па f”(0) = 6 > 0 и следува дека функцијата има минимум за х = 0,т.е. y – min = З • 0 – 0 = 0; f´´(2) = -6 < 0, следува дека за х = 2 функцијата има максимум, т.е.