Квадратни равенки

Равенката од видот

ах² + bx + c = 0 

каде што х е променлива, а a , b и c (a ≠ 0), се дадени реални броеви се вика квадратна равенка со една променлива.
Равенката е општ вид на квадратна равенка. Ако во неа a = 1, тогаш таа е во нормален или сведен вид и се запишува:

x² + px + q= 0

Ако во равенката ax² + bx + c = 0 коефициентите а, b и c се различни од нула, тогаш равенката се вика полна квадратна равенка, а ако барем еден од коефициентите b или c е еднаков на нула – неполна квадратна равенка.

Неполни квадратни равенки се равенките:

ax² + bx = 0  c = 0;
ax² + c = 0 ,  b = 0;

linia

1. РЕШАВАЊЕ НА НЕПОЛНИ КВАДРАТНИ РАВЕНКИ

1. Равенката од видот ax² + bx = 0, а ≠ 0, се решава со разложување на нејзината лева страна на множители, т.е.

x (ax + b) = 0,

а таа е еквивалентна со вкупноста равенки:

158-f1Оттука се добива дека равенката ax² + bx = 0 има две решенија:

159-f1па велиме дека х₁ =х₂ = 0 е двократен корен на равенката aх² = 0.

2. Равенката од видот

ах² + c = 0, a ≠ 0

се решава со префрлање на c на десната страна и делење на двете страни со a, при што се добива:

159-f2– Ако – c/a > 0 ,т.е. кога a и c имаат различни знаци, равенката има два различни корени:

160-f1

– Ако – c/a < 0 , т.е. кога a и c имаат еднакви знаци, корените на равенката се конјугирано комплексни броеви:

160-f2

linia

2. РЕШАВАЊЕ НА ПОЛНА КВАДРАТНА РАВЕНКА

Решенијата на полната квадратна равенка

ах² + bx + c = 0

се одредуваат со формулите:

161-f2

Ако квадратната равенка е дадена во нормален вид

161-f3

тогаш формулите за корените на равенката го добиваат видот:

162-f1

Оваа формула е погодна кога коефициентот р е парен број.

linia

3. ДИСКРИМИНАНТА НА КВАДРАТНА РАВЕНКА

Реалниот број b² – 4ac се вика дискриминанта на квадратната равенка aх² +bx + c = 0 , и се означува со D, т.е.

D = b² – 4ac

Во зависност од знакот на D, може да се одреди природата на решенијата на квадратната равенка aх² + bx + c = 0 (∀a, b, c ∈ R) и a ≠ 0

Решенијата (корените) на квадратната равенка се:

1) реални и различни, ако D > 0

2) реални и еднакви, ако D = 0

3) конјугирано комплексни, ако D < 0

linia

4. ВИЕТОВИ ФОРМУЛИ

Броевите x₁ и х₂ се корени на квадратната равенка

ах² + bx + c = 0 

ако и само ако важат равенствата:

164-f1

Овие равенства се познати како Виетови формули.

Ако квадратната равенка е дадена во нормален вид:

х² + px + q = 0,

тогаш Виетовите формули се:

х₁ + х₂ = -р

х₁ • х₂ = q

linia

5. РАЗЛОЖУВАЊЕ НА КВАДРАТЕН ТРИНОМ НА ЛИНЕАРНИ МНОЖИТЕЛИ

Изразот ах² + bx + c се вика квадратен трином по однос на променливата х, каде што a,b,c ∈ R и a ≠ 0.

Корените на квадратната равенка ax² + bx + c = 0 се нули на квадратниот трином.
Квадратниот трином ax² + bx + c може да се разложи на линеарни множители со реални коефициенти, т.е.

ax² + bx + c = a (x – x₁) (x – x₂)

 

– kvadratni ravenki –