Нека А и В се две непразни множества. Ако на секој елемент х ∈ А му одговара (се придружува) само еден елемент у ∈ В, тогаш велиме дека е определена една функција од множеството А во множеството B. Функцијатаја означуваме:
f: A -> B
Со функцијата f на елементот х ∈ А му се придружува елементот у ∈ В и се означува: у = f(x)
каде што х е оригинал, а f(x) е слика на х.
Доменот А или областа на определеност на функцијата у = f(x) (или дефинициона област на функцијата у=f(x) се обележува со Df. Кодоменот или множеството на сите слики (област на вредности на функцијата) е множеството {f(x) ∈ B | x ∈ A} ⊆ B и се означува со Vf .
1. ГРАФИК НА ФУНКЦИЈА
Нека е дадена функцијата у = f(x). Множеството Gf = {x , f(x) , x ∈ R} се вика график на функцијата.
2. ОСНОВНИ СВОЈСТВА И КАРАКТЕРИСТИЧНИ ТОЧКИ НА ФУНКЦИИТЕ
2.1. НУЛА НА ФУНКЦИЈА
Нула на функцијата у = f(x) е онаа вредност на аргументот х, за која вредноста на функцијата е еднаква на нула. Нулите на функцнјата се добиваат со решавање на равенката f(x)=0
2.2. МОНОТОНИ ФУНКЦИИ
Функцијата y = f(x), х ∈ Df, строго монотоно расте ако за кои било вредности x₁,x₂ ∈ Df важи:
x₁ < x₂ => f(x₁) < f(x₂)
Функцијата у = f(x), х ∈ Df строго монотоно опаѓа аko за кои било вредности x₁,x₂ ∈ Df важи:
x₁ < x₂ => f(x₁) > f(x₂)
Функцијата у = f(x), х ∈ Df монотоно расте (опаѓа) ако за секои x₁,x₂ ∈ Df важи:
x₁ ≤ x₂ => f(x₁) ≤ f(x₂)
2.3. ОГРАНИЧЕНИ ФУНКЦИИ
Функцијата у = f(x), х ∈ Df е ограничена одозгора ако постои број М ∈ R, таков што:
f(x) ≤ M за секој х ∈ Df
Функцијата y = f(x), х ∈ Df е ограничена одоздола ако постои број m, таков што:
f(x) ≥ m за секој х ∈ Df
Функцијата y = f(x) се вика оrраничена ако постои број L, таков што за секој х ∈ Df важи:
|f(x)| ≤ L
Пример. Функцијата y = cos x, е ограничена бидејќи |cos x| ≤ 1, за секој х ∈ Df
Графикот на оrраничената функција се наоѓа меѓу две паралелни прави y – L = 0 и y + L = 0
2.4. ЕКСТРЕМНИ ВРЕДНОСТИ НА ФУНКЦИЈА
Функцијата у = f(x), x ∈ D =(a,b) во точката x₀ ∈ D има локален максимум ако постои еден отворен интервал (x₀-δ , x₀+δ) ⊂ D, δ>0, таков што за секој x≠x₀ од овој интервал, е исполнето неравенството f(x) < f(x₀)
Вредноста на максимумот е f(x₀). Тоа значи дека интервалот (x₀-δ,x₀+δ) лево од x₀ (црт. 1 ), функцијата монотоно расте, а десно од x₀ монотоно опаѓа.
Црт. 1
Функцијата у = f(х), x ∈ D = (a,b) во точката x₀ има локален минимум ако постои еден отворен интервал (x₀-δ,x₀+δ) таков што за секој х од овој интервал, различен од x₀, е исполнето неравенството f(x) > f(x₀)
Вредноста на минимумот е f(x₀)
Тоа значи дека во интервалот (x₀-δ,x₀+δ), лево од x₀ (црт. 2), функцијата монотоно опаѓа, а десно од x₀, монотоно расте.
Црт. 2
Максимумот и минимумот на една функција се викаат екстремни вредности на функцијата.
2.5. ПАРНИ ФУНКЦИИ. НЕПАРНИ ФУНКЦИИ
Функцијата y = f(x), х ∈ Df се нарекува парна функција ако е исполнето:
f(-x) = f(x), за секој х ∈ Df
Графикот на парната функција е симетричен во однос на у-оската.
Функцијата y=f(x), х ∈ Df се нарекува непарна функција ако е исполнето:
f(-x) = -f(x) за секој х ∈ Df
Графикот на непарната функција е симетричен во однос на координатниот почеток.
2.6. ПЕРИОДИЧНИ ФУНКЦИИ
За функцијата y=f(x), х ∈ Df, најмалиот позитивен број ω (ако постои), се нарекува период на функцијата ако за кое и да било х е исполнето f(x + ω)= f(x)
За функцијата у=f(х), х ∈ Df велиме дека е периодична.
3. ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НА ФУНКЦИЈА
Функцијата у = f(x) нека е определена во некоја околина на точката х₀∈D (при што таа може да биде определена или не во хₒ).
За функцијата у = f(x) велиме дека има гранична вредност λ во точката хₒ ако за секој произволен мал број ε>0 постои реален број ∆>0,таков што:
( ∀x ∈ D ) ( 0 < |x-xₒ| < δ ) => | f(x) | < ε
Тоа се означува со:
1. Нека y=f(x), и y₁=g(x) се две функции за кои
Тогаш важат следниве релации
2. Ако:
тогаш:
3. Ако:
Тогаш:
4. Ако:
Тогаш лимесот е 1, при x -> 0, важи и за kx -> 0