Природни броеви

Множеството на природните броевие М={1, 2, 3,…}.

Бројот 1 е најмал природен број, а најголем природен број не постои.

Множеството чии елементи се сите природни броеви и бројот нула се означува како N0 ={0, 1,2,3,…}.

linia

1. СОБИРАЊЕ И МНОЖЕЊЕ НА ПРИРОДНИ БРОЕВИ

Збирот и производот на кои било два природни броја е природен број, т.е.

(∀a,b ∈ N)(a + b, ab ∈ N)

За кои било а, b, c ∈ No точни се следниве равенства:
– комутативен закон за собирање;
a + b = b + a
– асоцијативен закон за собирање;
(а + b) + c = а + (b + c)
-единицата е неутрален елемент за множењето;
а • 1 = 1 • а = а
-комутативен закон за множење
a • b = b • a
-асоцијативен закон за множење;
(ab)c = a(bc)
-дистрибутивен закон на множењето во однос на собирањето;
(а + b)c = ас + bc
-нулата е неутрален елемент за собирањето;
а + 0 = 0 + а = а
а • 0 = 0 • а = 0

linia

2. ОДЗЕМАЊЕ И ДЕЛЕЊЕ НА ПРИРОДНИ БРОЕВИ

За дадени а, b ∈ N, разликата а – b не е секoгаш определена, т.е. не постои во N.
Ако а > b, тогаш а – b ∈ N. (Во Nₒ, условот е а >= b.) За дадени а, b ∈ N. количникот а : b не е секогаш определен, т.е. не е природен број.

2.1. ДЕЛЕЊЕ СО ОСТАТОК

За кои било дадени природни брuеви а и b, а > b, постојат еднозначно определени броеви k,r ∈ No така што a = kb + r, 0 =< r< b,
при што k е количник, а r остаток од делењето на a со b.

2.2. РЕЛАЦИЈА ЗА ДЕЛИВОСТ

Природниот број а е делив со природниот број b, ако постои природен број k, така
што:
a = kb.

Правилото за деливост симболички се запишува:
b|a <=> а = kb, k ∈ N.

– Секој природен број n што е делив со бројот 2 се вика парен број и се означува со
n = 2k, за некој k ∈ N.

– Ако n не е делив со 2, тогаш тој се вика непарен број и се означува со n=2k+1, k ∈ N.

2.3. ПРОСТИ И СЛОЖЕНИ БРОЕВИ

Секој природен број n што има точно два делители 1 и n се вика прост број.
Природните броеви што имаат повеќе од два делитела се викаат сложени броеви.
Бројот 1 не е ни прост ни сложен број.

2.4. ПРИЗНАЦИ ЗА ДЕЛИВОСТ

Кој било Природен број а може да се претстави со помош на степените со основа бројот 10, т.е.
alg34-1

каде што a₀ е цифра на единиците, a₁ – десетките итн.

 

– Признаци за деливост:

1. 2|а <=> a₀ е парен број (признак за деливост со 2).

2. 5|a <=> а₀ е 0 или 5 (признак за деливост со 5).

3. 10|a <=> a е 0 (признак за деливост со 10).

4. 3|а <=> 3| (аn + аn-1+…+а, a0) (признак зa деливост со 3).

5. 9|а <=> 9| (аn + аn-1+…+а, a0) (признак зa деливост со 9).

6. 4|a <=> 4|а₁а (Признак зa деливост со 4).

 

2.5. НАЈМАЛ ЗАЕДНИЧКИ СОДРЖАТЕЛ

Најмал заеднички содржател (НЗС) на два или повеќе природни броеви се вика најмалиот број што е содржател на секој од дадените броеви.

Пример. НЗС (60,45,48):

60 = 2²•3•5
45 = 3²•5
48 = 2⁴•3
Значи, НЗС (60,45,48)=2⁴∙3²∙5=720

 

2.6. НАЈГОЛЕМ ЗАЕДНИЧКИ ДЕЛИТЕЛ

Најголем заеднички делител (НЗД) на два или повеќе природни броеви се вика најголемиот природен број што е делител на тие броеви.

Пример НЗД(60,90,48):
60=2²•3•5
90=2•3²•5
48=2⁴∙3
Значи,
НЗД(60,90,48) = 2 • 3 = 6.

Ако НЗД од два броја е 1, тогаш за тие броеви се вели дека се заемно прости.

 

– Prirodni broevi –

2735total visits,6visits today