Логаритамски равенки

Равенката, во која непознатата се наоѓа во логаритмандот или во логаритамската основа на барем еден логаритам, се вика логаритамска равенка.

Не постои општ метод за решавање на логаритамска равенка.

Решавање на некои видови логаритамски равевки

1) Решавање на равенки од видот logₐ х = b (а,b ∈ R).

Ако a > 0 и а ≠ 1 ,тогаш за кој било реален број b, равенката има единствено решение : 204-f4

2) Решавање на равенка од видот (1)
204-f2

 

Решенијата на оваа равенка се добиваат со решавање на равенката:

f (x) = g(x) (2)

Секое решение на равенката (1) е и решение на равенката (2), но обратното не важи, па затоа зa решенијата на равенката (2) ќе се вршат проверки во равенката (1).

Пример 1. Да ја решиме логаритамската равенка

log₂ (x + 2) + log₂ (x + 14) = 6.

Оваа равенка е еквивалентна со равенката:

log₂ (x+ 2)(х+14) = log₂64

Решенијата на равенката

(х+2)(х+14)= 64

се: х₁ = -18 и х₂ =2.

Проверка. За х = -18 , решаваната равенка преминува во равенството

log₂(-16)+ log₂(-4) = 6

кое е невистинито (логаритмандот не можеда биде негативен број). Следува дека х =-18 не е решение на разгледуваната равенка.

За решението х = 2, решаваната равенка преминува во точно равенство, т.е.

log₂4 + log₂16= 6, 2+4 = 6

Значи, х = 2 е решение на равенката.

3) Решавање на равенка од видот F ( logₐ f(x) ) = 0

Во равенката F ( logₐ f(x) ) = 0

а > 0 и а ≠ 1, а f(x) е дадена функција од х. Со смената logₐ f(x) = t таа се сведува на видот: F(t)=0

Ако равенката F(t) = 0 има решенија t₁,t₂,….tk, тогаш решавањето на дадената равенка, се сведува на решавање на вкупноста од логаритамски равенки

208-f1

4) При решавањето на некои логаритамски равенки cтанyвa неопходно да се примеменат и некои од познaтите логаритамски идeнтитети.

Пример 3. Равенката

208-z1

може да се запише и вака:

208-z2

и применувајќи го идентнтетот

209-z1

се добива равенката

209-z2

односно

209-z3

– logaritamski ravenki –

950total visits,4visits today