Типови функции

1. ИНВЕРЗНИ ФУНКЦИИ

Функцијата f(x) има инверзна функција f-¹ кога за сите х₁,x₂∈ Df е исполнето x₁ ≠ x₂ => f(x₁)≠ f(x₂)

Постапката за одредување на инверзната функција на дадена функција ќе ја прикажеме на следниов пример.

Нека е дадена функцијата

f(x) = 3x-1392-f1Значи, функцијата392-f2
е инверзна функција на функцијата:  f(x) = 3х – 1

Графиците на две заемно инверзни функции се симетрични во однос на симетралата на I и III квадрант, т.е. правата у=х.

2. ИМПЛИЦИТНИ ФУНКЦИИ

Функцијата којашто е запишана во облик у = f(x) се вели дека е експлицитна или јавна. Ако, пак, функцијата е зададена со f(x,у)=0 , тогаш таа е имплицитна.

Пример. Функцијата, определена со равенката х+у = 3-y² е имплицитна.

3. СЛОЖЕНИ ФУНКЦИИ

Нека се дадени две функции f и g, каде што f:A -> B и g:B -> C, така што множеството вредности на функцијата f е област на определеност на функцијата g. Тогаш од:

A -> B -> C

односно

x -> f(x) -> g(f(x))

добиваме нова функција h: A -> C која се вика сложена функција или композиција од функциите f и g.

Пример. Да ја определиме сложената функција h = g ° f за функциите f(x)=x-4 и g(x) =-x+3

Решение:

h(x) = (g°f) (x) = g(f(x)) = -f(x) + 3 = -(x-4) + 3 = -x + 7

4. ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА

Функцијата од обликот f(x)= ax+b, каде што a≠0 и b се произволни реални броеви, кои не зависат од х, а х е аргумент, се нарекува линеарна функција.

Графикот на функцијата f(x)=ax+b е права. Бројот а се вика коефициент на правецот на правата, а b е  отсечокот што правата го отсекува од у-оската (црт. 3).

Правата y=ax+b ја сече у-оската во точката B(0,b), а х-оската во точката А(-b/a , 0).

397-c1Црт.З

5. КВАДРАТНА ФУНКЦИЈА

Функцијата f: R -> R е квадратна функција ако постојат реални броеви а ≠ 0,b,с, кои не зависат од х, такви што за секој x∈R е f(x)=ax2+bx+с

Графикот на функцијата у =ах² е крива која се вика парабола (црт. 4), а точката O(0,0) -теме на параболата.

Правата х=0 е оска на симетрија на параболата. Параболата е отворена нагоре ако а>0, односно надолу -ако а<0.

399-c1а) а>0 б) а<0
Црт.4

Графикот на функцијата у = ах²+ с се добива со поместување на графикот на функцијата у = ах²

во правец на у-оската за |с| и тоа: нагоре кога с>0 и надолу кога с<0. Теме на параболата е точката Т(О,с)

Пример. Графикот на функцијата у = 2x²-2 е прикажан на цртежот 5. Теме на параболата е точката Т(0,-2).

400-t1

401-c1Црт. 5

Графикот на функцијата

у = ах² + bx + с

е парабола, складна со параболата у = ах², чие теме е во точката Т

402-f1

Правата х=-b/(2a) е оска на симетрија. За а>0 параболата е отворена нагоре, а за а<0 таа е отворена надолу.

Други карактеристични точки на графикот на функцијата у=ах²+bх+с се:

– параболата ја сече у­оската во точката (0,с);

– ако D = b² – 4ас > 0, тогаш параболата ја сече х-оската во точките (х₁,0) и (х₂,0), каде што х₁ и х₂ се корени на равенката ах² + bx + с = 0 (нули на функцијата);

– ако D<0, тогаш параболата не ја сече х-оската;

– ако D = 0, тогаш параболата ја допира х-оската во точката (-b/(2a) , 0).

Пример. Да го нацртаме графикот на функцијата:

у = -x² + 6х – 5

1°. Нули на функцијата:
-х² + 6х – 5 = 0
х₁ = 1 , х2 = 5
Графикотја сече х-оската во точките (1,0) и (5,0) .
404-c6Црт. 6

2°. Графикот ја сече у-оската во точката (0,-5).

3°. Оска на симетрија на параболата е правата х = 3.

4°. Координатите на темето на параболата се:

405-f1

6. ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА

Функцијата од видот у =аˣ,каде што а е позитивен реален број различен од 1, а х­ – аргумент, се вика експоненцијална функција.

Графикот на експоненцијалната функција у =аˣ, за а>1 е даден на цртежот 7а), а за 0<а<1 -на цртежот 7б).

406-c7Црт. 7

7. ЛОГАРИТАМСКА ФУНКЦИЈА

Функцијата од видот у = logₐ х , каде што а е позитивен реален број различен од 1, а х-аргумент, се вика логаритамска функција.
Графикот на логаритамската функција y=logₐ x, зa а>1 е даден на црт. 8а), а за 0 < а < 1 -на црт. 8б).

407-c8Црт. 8

452total visits,1visits today