Равенки што се сведуваат на квадратни

1. ДРОБНО РАЦИОНАЛНИ РАВЕНКИ КОИ СЕ СВЕДУВААТ НА КВАДРАТНИ РАВЕНКИ

Равенка во која променливата се содржи и во именителот на некоја дропка се вика дробно рационална равевка.
При решавањето на дробно рационални равенки, најчесто, постапката е:

– се разложуваат именителите на множители;
– се одредува дефиниционата област на равенката;
– се ослободуваме од дропките со множење на равенката со НЗС за именителите;
– се решава добиената равенка;
– се утврдува кои од добиените решенија се решенија на почетната равенка.

Пример 2. Да ја решиме равенката

168-p1

Дефиниционата област на равенката е множеството

D = R {-2 , 2}.

Ја множиме равенката со (х – 2)(х + 2), па се добива равенката:

х(х + 2) – З(х – 2) = 8,

односно равенката:

х² – х – 2 = 0

чии решенија се х₁ = -1 и х₂ = 2. Бидејќи 2 ∉ D , следува дека равенката има само еден корен х=-1.

linia

2. БИНОМНИ РАВЕНКИ

Равенката од видот

xⁿ – а = 0

се вика биномна равенка од n-ти степен.

Со смената 170-f1 таа се сведува на поедноставната равенка:

уⁿ – 1 = 0

Во зависност од коефициентот а и парноста на бројот n, за биномната равенка хⁿ – а = 0, важи следново:

1) Ако а = 0, равенката во множеството на реалните броеви, односно множеството на комплексните броеви има единствено решение х = 0

2) Ако а ≠ 0, тогаш во множеството на реалните броеви равенката за:

а) n = 2k и а > 0 има два реални корени

171-f1

б) n = 2k и а < 0 нема реални корени;

в) n = 2k + 1 и (∀a ∈ R) има единствен реален корен

171-f2

3) Ако а ≠ 0 е произволен реален број (или комплексен) број, тогаш во множеството на комплексните броеви има точно n корени.

linia

3. БИКВАДРАТНИ РАВЕНКИ

Равенката од видот

ах⁴ + bx² + c = 0

каде што а, b, c се реални броеви и а ≠ 0 се вика биквадратва равенка.

Решавањето на биквадратната равенка го вршиме со помош на смената х² = у со која таа се сведува на квадратната равенка:

ay² + by + c = 0

Ако решенијата на равенката ay² + by + c = 0 се у₁ и у₂ , тогаш врз основа смената х² = у се добива вкупноста равенки:

x² = y₁ , x² = y₂

При у₁,у₂ ∈ R, решенијата на биквадратната равенка се:

173-f1

 

 

Биквадратната равенка

аx⁴ + bx² + c = 0, при c = 0 го добива видот:

ax⁴ + bx² = 0 т.е x² (ax² + b) = 0

чие решение се сведува на решавање на две неполни квадратни равенки:

x² = 0 и ах² + b = 0.

Ако b = 0, тоrаш биквадратната равенка аx⁴ + bx² + c = 0 се сведува на биномна равенка од четврти степен ах⁴ + с = 0.

За оваа равенка, при ас > 0 сите четири корени се комплексни, а за ас < 0 таа има два реални и два комплексни корени.

Ако b=c=0, тоrаш биквадратната равенка има четирикратен корен х = 0.
 
linia
 

4. ТРИНОМНИ РАВЕНКИ

Равенката од видот

ах²ⁿ + bxⁿ + c = 0 каде што a,b,c ∈ R и а ≠ 0 се вика триномна равенка.

Равенката е од 2n-ти степен и нејзиното решавање со смената

хⁿ = у

се сведува на решавање на квадратната равенка ay² + by + c = 0.

Ако у₁ и у₂ се корени на последната равенка, тогаш корените на триномната равенка се добиваат со решавање на вкупноста биномни равенки:

хⁿ = У₁
хⁿ = У₂

linia

5. РАВЕНКИ ОД КВАДРАТЕН ВИД

Овие равенки, најчесто го имаат видот:

a [ f (x)²] + b [ f (x)] + c = 0

каде a,b,c ∈ R(a ≠ O), а f(x) е израз којшто зависи од х.
Таквите равенки се викаат равенки од квадратен вид, бидејќи cо смената f(x)= у се сведува на квадратна равенка:

ay² + by + c = 0

Еден корен на симетричната равенка од трет степен е секогаш бројот -1, а другите два се добиваат со решавање на квадратната равенка:

ах² + (b – a)x + a = 0

Равенката од трет степен од видот

ах³ – bx² – bx – a = 0, (а ≠ 0)

се решава на сличен начин како и симетричната равенка од трет степен. Бројот 1 секогаш е решение на оваа равенка.

linia

6. СИМЕТРИЧНА РАВЕНКА ОД ЧЕТВРТИ СТЕПЕН

Равенката од видот:

ах⁴ + bx³ +сх² + bx + а = о, (а ≠ 0), се вика симетрична равенка од четврти степен.

Со групирање на членовите со еднакви коефициенти, се добива равенката:

а (х⁴ + 1)+ b(x³ + х) + сх² = 0

Оваа равенка ја делиме со х² (х≠ 0) и ја добиваме равенката

182-f1 (*)

Воведуваме нова променлива со смената 182-f4 ,од која со квадрирање се добива:

182-f2

односно

182-f3

Со замена на сооднетните вредности во (*), ја добиваме paвeнката

а (у² – 2) + by +c = 0

Ако у₁,у₂ ∈ R се корени на последната равенка, тогаш вредностите на х се наоѓаат од равенките:

183-f1

односно од вкупноста равенки:

183-f2

Оттука се добиваат четирите корени на симетричната равенка, под услов у₁,у₂ ∈ R

Равенката од четврти степен од видот:

ax⁴ + bx³ ± bx – a = 0 (a≠0),

се решава со разложување на нејзината лева страна на множители, при што се добива:

(х² ± 1)(ах² + bx + a) = 0

linia

7. СИМЕТРИЧНИ РАВЕНКИ ОД ПЕТТИ СТЕПЕН

Равенката од обликот:

ах⁵ +bx⁴ +сх³ +cx² +bx +а = 0 ,(a ≠ 0) е симетрична равенка од петти степен.

Постапката за решавање е следнава:

-се групираат членовите со исти коефициенти:

a (x³ + 1) + bx (x³ + 1) + cx² (x + 1) = 0

* x³ + 1 = (x+1) (x² – x + 1) и

* x⁵ + 1 = (x + 1) (x⁴ – x³ + x² – x + 1)

равенката го добива обликот:

(x + 1) [ ax⁴ + (b-a)x³ + (a – b + c)x² + (b-a) x + a] = 0

Еден корен е х₁ = -1, а другите 4 корени се добиваат со решавање на симетричната равенка од четврти степен:

ax⁴ + (b-a)x³ + (a – b + c)x² + (b-a) x + a = 0

Равенката од петти степен од видот:

ах⁵ + bx⁴ + сх³ + cx² – bx – а = 0,(a ≠ 0),

се решава на сличен начин како и симетричната равенка од петти степен. Едно решение на оваа равенка е х = 1. Оваа равенка се вика косо симетрична равенка од петти степен.

 

– ravenki sto se sveduvaat na kvadratni –

701total visits,2visits today