Низи

Секое пресликување на множеството N на природните броеви во множеството R на реалните броеви се вика низа од реални броеви.

Во низата 362-f0 членот се вика n-ти член или оnшт член на низата, а a₁-прв, a₂-втор и.т.н.

Својства на низите:

1) Moнотони низи.

За една низа 362-f0 велиме дека расте ако

(∀n ∈ N)a-n ≤ a-n+1

Слично, низата опаѓа, ако и само ако

(∀n ∈ N) a-n ≥ a-n+1

Ако се испушти знакот за еднаквост, низата строго расте (опаѓа).
Низите што растат и опаѓаат се викаат монотони низи.
Критериум за одредување на монотоност на низа:

1. 363-f1 или 363-f2 тогаш низата расте

2. 363-f3 или 363-f4 тогаш низата опаѓа

 

Пример. Низата со општ член:

364-f01

 

опаѓа, бидејќи

364-f1

2) Ограничени низи

За низата 362-f0 велиме дека е ограничена ако постои еден број М таков што ниеден член од низата по апсолутна вредност да не го надминува бројот М, т.е.

365-f1

Низата што не е ограничена се вика неоrраничена.
linia

1. АРИТМЕТИЧКА ПРОГРЕСИЈА

Под аритметичка прогресија подразбираме низа кај која што,почнувајќи од вториот член, разликата меѓу секој член и неговиот претходник е постојана, т.е. за низата 362-f0 имаме

366-f1

Бројот d се вика разлика на аритметичка проrресија. Ако d > 0 , тогаш низата расте. Ако d < 0,тогаш аритметичката прогресија опаѓа. Ако d = 0,тогаш прогресијата ниту расте ниту опаѓа, т.е. сите членови се меѓусебе еднакви. Општиот член на аритметичката проrресија се добива со формулата

366-f2

Пример. Десетиот член на аритметичката прогресија 3 , 8 , 13 , 18 ,…, т.е.

a₁= 3 , d=5 , n=10
a₁₀ = a₁ + (10-1)d = a₁ + 9d = 3+9∙5=48

 

1.1. Некои својства на членовите на аритметичка прогресија

1°. Во една аритметичка проrресија со конечен број членови,збирот на два члена еднакво оддалечени од крајните членови е еднаков на збирот од крајните членови,т.е.

368-f1

2°. Секој член на една аритметичка проrресија (освен првиот) е аритметичка средина на неговите два соседни членови, т.е.

368-f2

Важи и поопшто дека:

368-f1

3. Средниот член на една аритметичка проrресија со непарен број членови е еднаков на обопштената аритметичка средина од останатите членови, т.е.

369-f1

 

1.2. Збир на првите n-членови на една аритметичка прогресија

Збирот напрвите n-членови на една аритметичка прогресија е еднаков на

370-f1Ако во оваа формула се внесе вредноста на

370-f2

се добива

370-f3

Пример. Збирот на првите 12 членови на аритметичката прогресија

371-p1

linia

2. ГЕОМЕТРИСКА ПРОГРЕСИЈА

Низа од броеви кај која количникот меѓу секој член,освен првиот,и неговиот претходник е константен број се вика геометриска прогресија.
За низата a₁ , a₂ ,…, an , ….. имаме an : an-1, (q=константа). Бројот q се вика количник на геометриската прогресија.
Ако q>1, тогаш геометриската прогресија за а₁>0 монотоно расте, а при a₁<0 монотоно опаѓа.

Ако 0 < q < 1 и a₁ < 0, прогресијата монотоно расте, а ако a₁ > 0 монотоно опаѓа.

Ако q < 0, членовите на прогреснјата алтернативно се менуваат како позитивни и негативни, и тоа се вика алтернативна геометриска прогресија.

Ако q = 1, сите членови на прогресијата се еднакви, т.е. таа е “константна” прогресија.
Општиот член на геометриската прогресија се добива со формулата:

373-f1

Пример. Да го определиме седмиот член на геометриската прогресија 2 , 6 , 18 , 54 , …

Решение.

a₁ = 2, q=3 и n=7

Од формулата 373-f1 имаме:

374-p1

2.1. Некои својства на членовите на геометриска прогресија

1) Производот на два члена од една геомериска прогресија, еднакво оддалечени од крајните членови на прогресијата, е еднаков на производот од крајните членови, т.е.

375-f12) Секој член на една геометриска прогресија (освен првиот) е геометриска средина на двата соседни члена, т.е.

375-f2

3) Во секоја rеометриска прогресија a₁ , a₂ , … an-1 за секој n ≥ 1 важи:

376-f1

2.2 збир од првите n-членови на геометриска прогресија

Збирот од првите n членови на геометриска прогесија се определува со формулата:

376-f2

Пример.Да го пресметаме збирот од првите шест членови на геометриската прогресија 2 , 6 , 18 ,…

Решение.

a₁= 2 , q =3 и n=6

Заменувајќи ги овие вредности во формулата за збирот, се добива:

377-p1

– nizi od realni broevi –

1489total visits,9visits today