Криви од втор ред

Равенката Ax²+ Bxy + Cy²+ Dx + Ey + F = 0 е општа равенка од втор степен со две непознати.

Кривата што е определена со некоја равенка од втор степен со две променливи се вика крива од втор ред.

Криви од втор ред, на пр., се: кружница, елипса, хипербола и парабола.

1. КРУЖНИЦА

Равенката:
322-f1

е равенка на кружница со центар во точката C (p,q) и радиус r (црт.7).

Равенката x²+ y² = r² се вика централна равенка на кружница.

323-c7
Црт. 7

1.1. Заемен однос на права и кружница

Нека е дадена равенката на кружницата

(x-p)² + (y – q)²= r²

и равенката на правата

y=kx+b.

Ако системот равенки

324-f1

има две решенија, тогаш правата ја сече кружницата; ако има едно решение-таа ја допира кружннцата и ако нема решение-правата и кружницата немаат заеднички точки.

Равенството

324-f2

претставува услов правата y=kx+b даја допира кружницата x²+y²=r²

Равенството
325-f2

претставува услов правата y=kx+b да ја допира кружницата

(x – p)² + (y – q)² = r²

1.2. Равенка на тангента и нормала на кружница

Равенката на тангента на кружницата x²+ y² = r² во точката М(x₁,y₁) е

x₁x + y₁y = r²

Ако равенката на кружницата е дадена во видот

(x-p)² + (y – q)² = r²

тогаш равенката на танrентата во точката М(x₁,y₁) е

326-f1

Равенката на нормалата на кружницата x²+ y² = r² во точката М(x₁,y₁) е

326-f2а равенката на нормалата на кружницата

(x-p)² + (y-q)²= r²

во точката М(x₁,y₁) е

327-f1

linia

2. ЕЛИПСА

Елипсата е множество точки во рамнината кај која збирот на растојанијата на било која нејзина точка до две дадени точки е константен (црт. 8).

Равенката

327-f2

се вика централна или канонична равенка на елипса.

328-c8

Црт.8

Отсечката A₁A₂ е голема оска на елипсата и
328-f1

Отсечката B₁B₂ е мала оска на елипсата и 328-f2

Точките F₁ и F₂ се фокуси на елипсата и

F̄₁̄F̄₂ = 2c

Полуоските а и b и полуфокусното растојание с ги исполнуваат следниве релации:

a > c и a²-c²=b²

2.1. Ексцентрицитет на елипса

Ексцентрицитет на елипсата е

329-f1

За полуоските и ексцентрицитетот важи следнава релација

330-f1

2.2. Директриси на елипса

Директрисите на елипса се две нормални прави на правата на која лежи нејзината голема оска, симетрично поставени во однос на центарот на елипсата и на растојание a/ε од него. Равенките на директрисите се:
331-f1

2.3. Заемен однос на права и елипса

Права и елипса ги имаат истите заемни односи како
права и кружница.

Нека е дадена равенката на елипсата b²x² + a²y² = a²b² и равенката на правата у = kx +n. Релацијата

a²k² + b² – n²= 0 односно a²k² + b²=n²

е услов правата у = kx +n да ја допира елипсата
b²x² + a²y²= a²b²

2.4. Равенка на тангента и нормала на елипса

Равенката на тангентата на елипсата b²x² + a²y² = a²b² во точката М(x₁y₁) гласи:

b²x₁x + a²y₁y = a²b²

Равенката на нормалата на елипсата b²x² + a²y² = a²b² во точката М(x₁,y₁) гласи:

333-f1

linia

3. ХИПЕРБОЛА

Хиперболата е множество точки од рамнина такво што разликата на растојанијата на КОЈа било нејзина точка до две дадени точки е константно(црт. 9).

Равенката

333-f2

се вика централна или канонична равенка на хипербола.

334-c9 Црт.9

Отсечката A₁A₂ е реална оска на хиперболата и A₁A₂= 2a (а – полуоска). Отсечката B₁B₂ е имагинарна оска на елипсата и B₁B₂ = 2b (b– полуоска). Точките F₁ и F₂ се фокуси на елипсата и при тоа F₁F₂ = 2c (с – полуфокусно растојание).

За полуоските а и b и полуфокусното растојнние с важат следниве релации:

a < c и c²- a² = b²

3.1. Ексцентрицитет на хипербола

Количникот с:а од полуфокусното растојание и реалната полуоска на хиперболата се вика ексцентрицитет на хипербола и се означува со ε.

Бидејќи с > а, следува ε > 1. Кај хиперболата важи:

336-f1од каде се добива

336-f2

3.2. Директриси на хипербола

Хиперболата има две директриси и нивните равенки се:

337-f1

3.3. Асимптоти на хипербола

Правите, одредени со равенките

337-f2

се асимптоти на хиперболата

337-f3338-c9 Црт.9

3.4. Заемна положба на права и хипербола

Права и хипербола ги имаат истите заемни односи како права и кружница.
Релацијата

338-f1

односно

a²k² – b² = n²

е услов правата у = kx +n да ја допира хиперболата b²x² – a²y² = a²b²

3.5. Равенка на тангента и нормала на хипербола

Равенката на тангентата на хиперболата b²x² – a²y² = a²b²

во која било нејзина точка М(x₁,y₁) е:

340-f1

а равенката на нормалата:

340-f2

linia

4. ПАРАБОЛА

Параболата е множество од точки во рамнината кои се на еднакво растојание од една постојана точка и една постојана права.Постојаната точка се вика фокус (ознака: F), а постојаната права се вика директриса на параболата (ознака: D).

Нормалното растојание од фокусот до директрисата обично се означува со р и се вика параметар на параболата (црт. 10).

341-c10
Црт. 10

Равенката y² = 2 px се вика канонична равенка на парабола.

Точката О(0,0) е теме на параболата. Фокусот има координати p/2 и О, т.е.

342-f1

4.1. Заемен однос на права и парабола

Релацијата р= 2kn е услов правата y=kx+n да ја допира параболата y²= 2рх .

2.4.2. Равенка на тангента и нормала на парабола

Равенката на танrентата на параболата y²= 2рх во нејзината точка М(x₁,y₁) е

343-f1 а равенката на нормалата:

343-f2

 

– Krivi od vtor red –

835total visits,4visits today