Изводи

1. ПОИМ ЗА ИЗВОД

Граничната вредност:

412-f1

ако постои, се вика извод на функцијата у = f(x) во точката х₀ и се означува со f'(x₀) или y'(x₀), т.е
412-f1
Изразот f(x) – f(x₀) се нарекува нарастување на функцијата и се означува со ∆y, т.е ∆y=f(x)-f(x₀), a x-x₀ се нарекува нарастување на аргументот и се означува со ∆x, т.е ∆x=x-x₀. Ako x -> x₀, тогаш и ∆x -> 0, па:
413-f1
За функцијата y=f(x) велиме дека е диференцијабилна во точката х₀, ако постои изводот f'(x)

Ако функцијата у =f(x) е диференцијабилна во точката х₀,тогаш таа е и непрекината во таа точка.

Пример. Изводот на функцијата у = 2х+3 го одредуваме по извршувањето на следнава постапка:
414-f1

linia

2. Изводи од некои посебни функции

415-416-f1

linia

3. Основни правила за диференцирање

1°. Ако y=cf(x) (c e konst.),
тогаш:
(cf(x))´ = cf´(x)

2°. Ако у = f(x)+ g(x),
тогаш:

(f (x) + g(x))´ = f´(x) + g´(x)

3°. Ако y=f(x)•g(x),
тогаш :
(f(x) ∙ g(x))´= f´(x)∙g(x)+ f(x)∙g´(x)
4°. Ако y=f(x)/g(x) тогаш

417-f1

linia

4. Извод од сложена функција

Нека g ∘ f D -> R е сложена функција. Изводот на оваа функција се определува со релацијата:

(g∘f)´(x)= g´(f(x))∙f´(x)

При практичиите пресметувања функцијата дадена во обликот y= g(f(x)) се пишува во обликот y (u)= g (u),u=f(x), па за изводот имаме:

y´(x)=g´(u)∙u´(x)=g´(f(x))∙f´(x)

Пример.

418-f1

 

 

Изводот на функцијата го одредуваме по следнава постапка:

Замена:

418-f2

 

Заменуваме во задачата:

419-f1

linia

5. Изводи од повисок ред

Извод од втор ред или втор извод на функцијата у = f(x) се вика изводот од нејзиниот прв извод и се означува со у” или f”(x). Ако постои извод и за функцијата f”(x),тогаш се зборува за трет извод на функцијата у = f(x) и се означува со f”'(x), итн. Воопшто, n-ти извод на функцијата у = f(x) е изводот од нејзиниот ( n-1 )-ви извод, т.е.

420-f1

Пример. Вториот извод на функцијата у = e² ͯ е:

y’=2e² ͯ
y”=2∙2e² ͯ = 4e² ͯ

linia

6. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ФУНКЦИЈА

Диференцијал на функцијата у =f(x) е производ од изводот на функцијата и диференцијалот на аргументот, т.е.

421-f2Прuмер. Да го одредиме диференцијалот на функцијата

у=2х³-8х+5.
dy = (2х³-8x+5)´dx= = (бх² -8)dx.

linia

7. НЕКОИ ПРИМЕНИ НА ИЗВОДИТЕ ВО ГЕОМЕТРИЈАТА

Равенката на танrента на кривата у = f(x) во точката А (x₀,y₀) е:

422-f1

а равенката на нормалата е:

422-f2

Должините на тангента (t),нормала (n),субтанrента (ѕ₁) и субнормала (s₂) (црт. 1) се определуваат со формулите:

423-f1

423-c1Црт. 1

424-f1

linia

8. ПРИМЕНА НА ДИФЕРЕНЦИЈАЛНОТО СМЕТАЊЕ ВО ИСПИТУВАЊЕТО НА ФУНКЦИИТЕ

1°. Нека функцијата у = f(x) е диференцијабилна во интервалот (а,b). Ако f'(x)>0 во тој интервал, тогаш функцијата строго монотоно расте, ако, пак, f'(x)<0, тогаш функцијата строго монотоно опаѓа.

2°. Ако во точката xₒ, f´(xₒ) = 0 и f´´(x₀)>0 функцијата во х₀ има минимум, а ако, пак, f´´(x₀)<0, тогаш во таа точка функциj­ата има максимум. Минимумот и максимумот cе викаат екстермни вредности на функцијата.

Во практиката се користиме со следниве правила:

1) Најпрво се определува првиот извод.
2) Потоа, првиот извод го прирамнуваме на нула и ја решаваме равенката f'(x) = 0.
3) За реалните корени на равенката f'(x)=0 го испитуваме знакот на f”(x),за секој корен одделно.
3°. За една крива ќе велиме дека е конвексна (конкавна) во еден интервап (a,b) кога коефициентот на правецот на тангентата во (a,b) строго монотоно опаѓа(расте), (црт. 2).

427-c1 а) конвекс. б) конкав.

Нека функцијата y=f(x) е двапати диференцијабилна функција на интервалот (a,b). Ако f”(x)=0 за секој тогаш графикот во тој интервал е конкавен.

Точката х = х₀ е превојна точка на функцијата у=f(x) ако кривата во таа точка ја менува насоката на испакнатост(закривеност). Почетен услов кривата да има превој во точката х=хₒ е f”(xₒ)=0,а доволен услов е f´´´(x₀)≠0.

4. Постројување график на функција.

Постројувањето график на функција ќе го прикажеме на следниов пример.

Пример. Да се испита текот и да се нацрта графикот на функцијата у = Зх²-х³

Решенuе.

1. Дефинициона област на функцијата: функцијата е дефинирана за секој х∈R,т.е.Df=R.

2. Интервали на монотоност на функцијата: Изводот f´(x)= 6x-3x² го прирамнуваме на нула, односно 6x-3x²=0 . Решенијата на оваа равенка се х₁=0 и х₂=2.

Интервалот (-∞,+∞) го делиме на следниве подинтервали: (-∞,0), (0,2), (2,+∞).

Го испитуваме знакот на првиот извод f'(x)=3x(2-x) за секој од овие интервали:

– во (-∞,0), f'(x)<0, функцијата опаѓа;

во (0,2), f'(x)>0, функцијата расте;

– во (2,+∞), f'(x)<0, функцијата опаѓа.

3. Екстремни вредности на функцијата: од f'(х)=бх-3² заклучуваме дека функцијата може да има екстреми за х=0 и х=2. Вториот извод f”(х)=6-6х, па f”(0)=6>0 и следува дека функцијата има минимум за х=0,т.е. y-min=З•0-0=0;f´´(2)=-6<0, следува дека за х = 2 функцијата има максимум, т.е.

y-max= 3∙2²-2³=12-8=4

4°. Превојни точки: од f”(x)=6-6х=0 следува дека за x=1 функцијата има превој;тоа е точката (1,2).

5°. Функцијата ниту е парна, ниту непарна, затоа што
f(-x)= 3x²+x³≠±f(x)

6°. Асимптоти: функцијата е полином а и нема асимптоти.

7°. Нули на функцијата: нулите на функцијата се х₁ =0 и х₂=3.
433-f1

Графикот на функцијата у=3x²-x³ е прикажан на цртежот 3.

433-c1

Црт. 3

– Izvodi –

2447total visits,5visits today