Интеграли

1. ПРИМИТИВНА ФУНКЦИЈА

Нека у = f(x) е функција определена во интервалот (a,b). Примитивна функција на функцијата у = f(x) во интервалот (a,b) се нарекува секоја функција у = F(x), диференцијабилна во дадениот интервал и таква што за секој х∈(a,b) точно е F'(x) = f(x).

Примитивните функции на функцијата f(x) се дадени со изразот F(x)+С, каде што С е произволна константа.

Множеството од сите примитивни функции на функцијата у = f(x), определени на интервалот (a,b), се вика неопределен интеграл од функцијата y= f(х) и се означува со

435-f1

Ако F(x) е која било примитивна функција на функцијата f(x) во (a,b), тогаш се пишува:

436-f1

Операцијата за наоѓање на неопределениот интеграл (примитивната функција) на дадена функција, се вика интегрирање.

linia

2. Таблица со некои основни интеграли

437-438-f1

linia

3. Основни својства на неопределениот интеграл

439-f1

Пример.

440-f1

linia

4. Интегрирање по метод на замена

Во основа на овој метод е формулата за извод од сложена функциј Притоа, во ∫f(x)dx се врши замена на променливата х со диференцијабилна функција х = ψ(t) и при диференцнрањето се добива dx = ψ'(t)dt.

Со замена во интеrралот се добива:

441-f1

Пример. Да се пресмета интеrралот 441-f2

Со смената 441-f3

интеrралот се сведува на:

441-442

linia

5. Интегрирање по делови

Формулата:

442-f1

се нарекува формула за интегрирање по делови (парцијална интеграција).

Пример.Да го пресметаме интегралот443-p1

linia

6. Определен интеграл

Нарастувањето на која било примитивна функција на функцијата f(x) при преминот на аргументот од х = а до х = b се вика определен интегрaл и се означува со

444-f1Значи, ако функцијатау y=f(х) е непрекината на интервалот [a,b] и постои неопределениот интеграл

444-f2

тогаш определениот интеграл се пресметува според формулата на Њутн-Лајбниц:

445-f1

Броевите а и b се граници на инrегралот: а-долна, а b-­горна граница.

Пример.

445-p1

linia

6.1. Својства на определениот интеграл

446-447-f1

6.2. Определен интеграл како плоштина

Плоштината Р на криволинискиот трапез abBA (црт.1), ограничен со кривата у=f(x), апсцисната оска и правите х=а и х=b, е еднаков на определениот интеrрал од таа функција,во rраници од а до b, т.е.

448-f1449-c1
Црт.1

Пример. Да се пресмета плоштината, оrраничена со кривата у= 1/x, апсцисната оска и правите х =1 и х =3 (цртеж2).

Решение.

450-p1
Црт.2

– integrali –

2336total visits,8visits today