Функции и нивните својства

Нека А и В се две непразни множества. Ако на секој елемент хА му одговара (се придружува) само еден елемент уВ, тогаш велиме дека е определена една функција од множеството А во множеството B. Функцијатаја означуваме:

f: A -> B

Со функцијата f на елементот хА му се придружува елементот уВ и се означува: у = f(x)
каде што х е оригинал, а f(x) е слика на х.

Доменот А или областа на определеност на функцијата у = f(x) (или дефинициона област на функцијата у=f(x) се обележува со Df. Кодоменот или множеството на сите слики (област на вредности на функцијата) е множеството {f(x) ∈ B | x ∈ A} B
и се означува со Vf .

1. ГРАФИК НА ФУНКЦИЈА

Нека е дадена функцијата у = f(x). Множеството Gf = {(x,f(x), xRсе вика график на функцијата.

2. ОСНОВНИ СВОЈСТВА И КАРАКТЕРИСТИЧНИ ТОЧКИ НА ФУНКЦИИТЕ

2.1. НУЛА НА ФУНКЦИЈА

Нула на функцијата у = f(x) е онаа вредност на аргументот х, за која вредноста на функцијата е еднаква на нула. Нулите на функцнјата се добиваат со решавање на равенката f(x)=0

2.2. МОНОТОНИ ФУНКЦИИ

Функцијата y = f(x), хDf, строго монотоно расте ако за кои било вредности x₁,x₂Df важи:

x₁ < x₂ => f(x₁) < f(x₂)

Функцијата у = f(x), хDf строго монотоно опаѓа аko за кои било вредности x₁,x₂Df важи:

x₁ < x₂ => f(x₁) > f(x₂)

Функцијата у = f(x), хDf монотоно расте (опаѓа) ако за секои x₁,x₂Df важи:

x₁x₂ => f(x₁)  ≤  f(x₂)

2.3. ОГРАНИЧЕНИ ФУНКЦИИ

Функцијата у = f(x), хDf е ограничена одозгора ако постои број МR, таков што:

f(x)M за секој хDf

Функцијата y = f(x), хDf е ограничена одоздола ако постои број m, таков што:

f(x)m за секој хDf

Функцијата y = f(x) се вика оrраничена ако постои број L, таков што за секој хDf важи:

|f(x)|  ≤  L

Пример. Функцијата y = cos x, е ограничена бидејќи |cos x| ≤ 1, за секој хDf

Графикот на оrраничената функција се наоѓа меѓу две паралелни прави y-L=0 и y+L=0

2.4. ЕКСТРЕМНИ ВРЕДНОСТИ НА ФУНКЦИЈА

Функцијата у = f(x), x ∈ D =(a,b) во точката x₀ ∈ D има локален максимум ако постои еден отворен интервал (x₀-δ,x₀+δ) ⊂ D, δ>0, таков што за секој x≠x₀ од овој интервал, е исполнето неравенството f(x) < f(x₀)

Вредноста на максимумот е f(x₀). Тоа значи дека интервалот (x₀-δ,x₀+δ) лево од x₀ (црт. 1 ), функцијата монотоно расте, а десно од x₀ монотоно опаѓа.

386-c1Црт. 1

Функцијата у = f(х), xD = (a,b) во точката x₀ има локален минимум ако постои еден отворен интервал (x₀-δ,x₀+δ) таков што за секој х од овој интервал, различен од x₀, е исполнето неравенството f(x) > f(x₀)

Вредноста на минимумот е f(x₀)
Тоа значи дека во интервалот (x₀-δ,x₀+δ), лево од x₀ (црт. 2), функцијата монотоно опаѓа, а десно од x₀, монотоно расте.

388-c1Црт. 2

Максимумот и минимумот на една функција се викаат екстремни вредности на функцијата.

2.5. ПАРНИ ФУНКЦИИ.НЕПАРНИ ФУНКЦИИ

Функцијата y = f(x), х ∈ Df се нарекува парна функција ако е исполнето:

f(-x) =  f(x), за секој х ∈ Df

Графикот на парната функција е симетричен во однос на у-оската.
Функцијата y=f(x), х ∈ Df се нарекува непарна функција ако е исполнето:

f(-x) = -f(x) за секој х ∈ Df

Графикот на непарната функција е симетричен во однос на координатниот почеток.

2.6. ПЕРИОДИЧНИ ФУНКЦИИ

За функцијата y=f(x), х ∈ Df, најмалиот позитивен број ω (ако постои), се нарекува период на функцијата ако за кое и да било х е исполнето f(x + ω)= f(x)

За функцијата у=f(х), х ∈ Df велиме дека е периодична.
3. ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НА ФУНКЦИЈА

Функцијата у = f(x) нека е определена во некоја околина на точката х₀∈D (при што таа може да биде определена или не во хₒ).
За функцијата у = f(x) велиме дека има гранична вредност λ во точката хₒ ако за секој произволен мал број ε>0 постои реален број ∆>0,таков што (∀x∈D)(0<|x-xₒ|<δ) => |f(x)|<ε

Тоа се означува со:

409-f1

1. Нека y=f(x), и y₁=g(x) се две функции за кои

409-f2

Тогаш важат следниве релации

409-410-f1

2. Ако:

410-f1
тогаш:

410-f2

3. Ако:

410-f3
Тогаш:411-f1

 

4. Ако:411-f2
Тогаш, бидејќи при x -> 0, важи и за kx -> 0

1462total visits,9visits today